Números primos

Los números primos han sido desde siempre admirados y utilizados. Vamos a ver como pueden sernos útiles, pero antes un poco de historia:

• Números primos: Aquél que solo es divisible por él mismo y por 1.
• Los primeros son

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 …

Euclides: demostró que hay infinitos números primos y desde entonces los matemáticos están “buscando” números primos grandes

La propiedad fundamental de la aritmética dice que: “todo número natural se puede expresar de forma única como producto de números primos”

Como consecuencia inmediata podemos deducir los procedimientos para obtener el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de 2 ó más números como bien saben nuestros alumnos

Eratóstenes ideó  de un método para identificar los primeros  números primos, llamada la criba de Eratóstenes

Lo curioso es que aparentemente no hay una fórmula ni un procedimiento para deducir número primos. Los matemáticos se dedican a intentar ver alguna “regularidad” en ellos. De momento es un problema abierto

¿Y para que podemos usarlos?

Los primos son claves para la seguridad de Internet: seguridad nacional, transacciones bancarias, etc.  Reducir un número al producto de sus factores primos es un problema muy difícil cuando el número es muy grande como este

135066410865995223349603216278805969938881475605667027524485143851526510604859533833940287150571909441798207282164471551373680419703964191743046496589274256239341020864383202110372958725762358509643110564073501508187510676594629205563685529475213500852879416377328533906109750544334999811150056977236890927563

Este número es producto de dos primos pero ni el más potente ordenador es capaz de hacerlo en un tiempo razonable

Criptografía

En criptografía, RSA (Rivest, Shamir y Adleman) es un sistema criptográfico de clave pública desarrollado en 1977.  La seguridad de este algoritmo radica en el problema de la factorización de números enteros. Los mensajes enviados se representan mediante números, y el funcionamiento se basa en el producto, conocido, de dos números primos grandes elegidos al azar y mantenidos en secreto. Actualmente estos primos son del orden de 10²⁰⁰, y se prevé que su tamaño aumente con el aumento de la capacidad de cálculo de los ordenadores.

Como en todo sistema de clave pública, cada usuario posee dos claves de cifrado: una pública y otra privada. Cuando se quiere enviar un mensaje, el emisor busca la clave pública del receptor, cifra su mensaje con esa clave, y una vez que el mensaje cifrado llega al receptor, este se ocupa de descifrarlo usando su clave privada.

Se cree que RSA será seguro mientras no se conozcan formas rápidas de descomponer un número grande en producto de primos. La computación cuántica podría proveer de una solución a este problema de factorización.

Ejemplo

Aquí tenemos un ejemplo de cifrado/descifrado con RSA. Los parámetros usados aquí son pequeños y orientativos con respecto a los que maneja el algoritmo

La clave pública (e, n). La clave privada es (d, n). La función de cifrado es:

encrypt(m) = m^e(mod n) = m¹⁷(mod 3233)

Donde m es el texto sin cifrar. La función de descifrado es:

decrypt(c) = c^d(mod n) = c²⁷⁵³(mod 3233)

Donde c es el texto cifrado. Para cifrar el valor del texto sin cifrar 123, nosotros calculamos:

encrypt(123) = 123¹⁷(mod 3233) = 855

Para descifrar el valor del texto cifrado, nosotros calculamos:

decrypt(855) = 855²⁷⁵³(mod 3233) = 123

También en el arte y literatura

•El compositor francés Olivier Messiaen se valió de ellos para crear música no métrica. En obras tales como La Nativité du Seigneur (1935) o Quatre études de rythme (1949-50) emplea simultáneamente motivos cuya duración es un número primo para crear ritmos impredecibles. Según Messiaen, esta forma de componer fue «inspirada por los movimientos de la naturaleza, movimientos de duraciones libres y desiguales»

•El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon, que describe en primera persona la vida de un joven autista muy dotado en matemáticas y cálculo mental, utiliza únicamente los números primos para numerar los capítulos.

•La soledad de los números primos, novela escrita por Paolo Giordano, ganó el premio Strega en 2008.

•También son muchas las películas que reflejan la fascinación popular hacia los misterios de los números primos y la criptografía, por ejemplo:

–Cube,

–Sneakers,

–El amor tiene dos caras

– Una mente maravillosa. Esta última se basa en la biografía del matemático y premio Nobel John Forbes Nash,